N進法に気づけ！（2021年度 海陽特別給費 大問1(3, あ)）
いつもご覧いただきありがとうございます。 今回は愛知県の海陽中等教育学校の最新の入試問題からの1題です。
海陽ってどんな学校？
海陽は2006年に創設された愛知県の男子校で、「将来の日本を牽引する、明るく希望に満ちた人材の育成」を建学の精神に掲げています。 初代理事長がトヨタ自動車の名誉会長・豊田章一郎氏であることからもわかるように、トヨタを筆頭とする大企業が次世代のトップランナーを育成するために作った学校です。 最大の特徴は「全寮制」であることです。これはイギリスのイートン校を真似たものらしく、現代日本の中高一貫校では他に類を見ない制度です。
以下の表は、 合格可能性が80%のラインにあたる偏差値を羅列したものです。 海陽の入試は4つの形式があるのですが、その中でも今回扱う特別給費はダントツで無難易度の高い入試になっています。 その難易度は灘や開成、筑駒といった日本の最難関校とも肩を並べる数字になっています。
| 入試形式 | 四谷大塚 | 日能研 |
|---|---|---|
| 特別給費 | 71 | 68 |
| 入試 I | 53 | 50 |
| 入試 II | 53 | 50 |
| 入試 III | 53 | 50 |
合格したいなら絶対に正解したい問題
問題文は以下の通りです。特別給費で海陽に合格するなら正解したい問題です。
a × a = a2, a × a × a = a3のように表します。
（あ）偶数を2, 22, 23......の和で表そうと思います。例えば10 = 2 + 23, 24 = 23 + 24のようになります。2020を表しなさい。
二進法に気づくかが鍵
この問題は実は「二進法で2020を表せ」という問題と同じだと気づけば一瞬でした。二進法とは「ある数を0と1の2つの数だけで表す方法」を指します。
二進法の話に入る前に、まず は普段使っている十進法からおさらいしましょう。十進法とは「ある数を0〜9の10個の数で表す方法」を指します。
例えば、コンビニで128円のおにぎりを買うとき、多くの人は10円玉や100円玉を使って
128円 = 100円 × 1枚 + 10円 × 2枚 + 1円 × 8枚
と払いますよね？（ここでは5円玉や50円玉の存在は無視します）
このように、10円玉や100円玉のようなある共通の大きさ（これを位と呼びます）が何個あるかを使って数を表すことで、0〜9のわずか10個の数字で無数の数を表せるようになっています。
このとき、ひとつの位では0〜9の10通りの表し方しかありませんから、ひとつの位で10個の数が使われたら位が進むので「十進法」とよびます。そして、1個上の位の大きさは元の位の10倍になっています。
ここまでを踏まえて二進法の特徴を整理すると、
- ひとつの位で2個（0と1）の数が使われたら位が進む
- 1個上の位の大きさは元の位の2倍になる
となります。
したがって、二進法のある位の大きさは
2 × 2 × 2 × ...... = 2n（nは自然数）
となり、問題に出てきた形がそっくりそのまま当てはまることがわかりますね。
2020を二進法で表す
十進法で表された数を二進法に直すときは、元の数を2で割り続ける方法があります。 実際に2020を2で割り続けると以下のようになります。
| 式 | 商 | あまり |
|---|---|---|
| 2020 ÷ 2 | 1010 | 0 |
| 1010 ÷ 2 | 505 | 0 |
| 505 ÷ 2 | 252 | 1 |
| 252 ÷ 2 | 126 | 0 |
| 126 ÷ 2 | 63 | 0 |
| 63 ÷ 2 | 31 | 1 |
| 15 ÷ 2 | 7 | 1 |
| 7 ÷ 2 | 3 | 1 |
| 3 ÷ 2 | 1 | 1 |
よって、下から順番に読んでいくと「11111100100 (2)」となります。 一番右の位（一番小さい位）は1で、2番目に右の位から左に向かって順番に2, 22, 23となっていくので、一番左の位（一番大きい位）は210となります。
よって、
2020 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 22
となります。